Come trovare l’insieme immagine di una funzione

Sei alle prese con lo studio delle funzioni e dopo aver ben compreso i concetti di dominio e codominio, sei ora arrivato a calcolare l’insieme immagine di una funzione. Proprio per questo motivo, infatti, hai ora cercato sul Web delle indicazioni su come trovare l’insieme immagine di una funzione e così sei finito su questa pagina del mio blog.

Ebbene, se quella appena descritta è esattamente la situazione in cui ti trovi tu, allora lasciami dire che in questo articolo troverai ciò di cui hai bisogno. Benché io non sia un professore di matematica, farò del mio meglio per illustrarti brevemente come si trova l’insieme immagine di una funzione e poi ti mostrerò alcune app e alcuni servizi online che ti consentono di fare ciò in modo abbastanza semplice.

Detto tutto ciò, direi che possiamo ora entrare nel vivo dell’argomento. Prenditi tutto il tempo che ti serve e prosegui pure nella lettura delle righe successive. Arrivati fin qui, a me non resta altro che augurarti una buona continuazione e in bocca al lupo per tutto!

Indice

Come si trova l’insieme immagine di una funzione

In questa prima parte vorrei parlarti brevemente di come si trova l’insieme immagine di una funzione. Anzitutto, l’insieme immagine di una funzione è l’insieme di tutti i valori che la funzione assume quando a essa vengono applicati tutti i possibili valori del dominio. In altre parole, è l’insieme di tutti i risultati che si ottengono dopo aver applicato la funzione a tutti i suoi “input”.

Dunque, per passare al pratico, se finora sei magari sempre stato abituato a esplicitare le funzioni per Y, al fine di trovare l’insieme immagine di una funzione devi invece esplicitare la funzione per X e questo significa che, ad esempio, la funzione y=x-1, la devi rendere nella forma x=y+1 e poi cominciare a studiare quella funzione (tuttavia, fare ciò non è sempre possibile).

Una volta che hai una funzione espressa per X, ciò che devi fare è trovare, in sostanza, il dominio di quella funzione. Nel caso appena citato, il dominio è R e ciò significa che l’insieme immagine della funzione è l’insieme di tutti i numeri reali.

Quello che ti ho appena descritto si può definire metodo analitico, ad ogni modo, esiste anche un metodo grafico il quale consiste nel determinare l’insieme immagine a partire dal grafico di una funzione (a volte il grafico viene dato già nell’esercizio, in altri casi, invece, lo si può ottenere a partire dalla funzione).

Naturalmente, le spiegazioni che ti ho dato sono molto riduttive e non tengono conto di casi particolari. Per questo motivo, ti invito a consultare questa pagina del sito Internet di YouMath per saperne molto di più sull’argomento.

Strumenti per trovare l’insieme immagine di una funzione

In questa parte andiamo ora a scoprire insieme degli strumenti per trovare l’insieme immagine di una funzione. Sono tutti fruibili in modo gratuito, anche se alcuni offrono funzionalità aggiuntive a pagamento. Ci tengo però ad anticiparti che molti servizi di cui ti sto per parlare non offrono un vero e proprio calcolatore di insieme immagine di una funzione, comunque, continua a leggere per scoprire in che modo possono tornarti utili ugualmente al fine di trovare l’insieme immagine di una funzione. Buon proseguimento.

Symbolab (Online/Android/iOS/iPadOS)

Una delle piattaforme che desidero consigliarti è Symbolab, uno strumento molto avanzato e versatile, in grado di risolvere problemi di algebra, geometria, aritmetica e altre discipline matematiche. Per quanto riguarda lo studio delle funzioni, Symbolab consente di creare grafici, determinare il dominio, calcolare la derivata, identificare il range e trovare le intersezioni della funzione inserita. Inoltre, offre anche la possibilità di disegnare un grafico e risalire alla funzione corrispondente.

Per utilizzare Symbolab per individuare l’insieme immagine di una funzione, ti basta accedere a questa pagina del sito. Una volta dentro, inserisci la funzione da analizzare nel campo Inserisci il problema e premi Invio.

Nella schermata successiva dovresti ora trovare un’analisi dettagliata della funzione. Scorrendo verso il basso, nella sezione Soluzione, puoi individuare la voce Range, così da vedere il range della funzione (che, nel caso delle funzioni suriettive coincide sempre con l’insieme immagine della stessa).

Nella sezione Fasi della soluzione hai poi accesso a ulteriori dettagli sulla funzione e ai passaggi che portano alla soluzione. Tuttavia, questa funzionalità è disponibile solo per gli utenti con un abbonamento Pro, i cui piani partono da 6,99 dollari al mese.

Un’altra funzionalità gratuita è la visualizzazione del grafico della funzione. Per visualizzarlo ti basta scorrere fino alla sezione Grafico per vedere la rappresentazione visiva della funzione che hai inserito.

Ti segnalo inoltre che Symbolab è disponibile anche come applicazione per dispositivi Android (inclusi store alternativi) e iOS/iPadOS. L’app offre praticamente le stesse funzionalità della versione Web.

Mathway (Online/Android/iOS/iPadOS)

Un’altra ottima piattaforma utile per trovare l’insieme immagine di una funzione è Mathway. Si tratta di uno strumento molto versatile, capace di risolvere una vasta gamma di problemi, come operazioni algebriche, aritmetiche, trigonometriche e molte altre.

Per utilizzare Mathway, visita questa pagina del sito ufficiale. Nel campo Inserisci un problema…, digita la funzione nel formato f(x)=[funzione], quindi premi Invio. Nella schermata successiva, seleziona l’opzione Trova il dominio e l’intervallo.

A questo punto, puoi vedere direttamente il dominio e l’intervallo della funzione (quest’ultimo, in caso di funzioni suriettive, corrisponde all’insieme immagine). Se desideri visualizzare i passaggi che portano alla soluzione, clicca su Tocca per vedere i passaggi…. Questa opzione, però, è riservata agli utenti con abbonamento, con piani a partire da 10,99 euro al mese. Inoltre, se vuoi visualizzare il grafico della funzione, puoi farlo gratuitamente cliccando su Tocca per mostrare il grafico…, nella stessa pagina.

Se ti può interessare, Mathway offre anche uno strumento chiamato Graphing Calculator, accessibile direttamente da questa pagina. Questo tool consente di rappresentare le funzioni su un grafico cartesiano in tempo reale semplicemente inserendo la funzione nel campo dedicato. Infine, tutte le funzionalità di Mathway sono disponibili anche tramite l’app ufficiale, scaricabile per Android (inclusi store alternativi) e per iOS/iPadOS.

Altri strumenti per trovare l’insieme immagine di una funzione

Oltre ai tool di cui ti ho appena parlato, puoi ovviamente avvalerti di altri strumenti per trovare l’insieme immagine di una funzione. Ecco che qui di seguito te ne riporto alcuni che potrebbero interessarti.

• ChatGPT (Online/Android/iOS/iPadOS/Windows) — si tratta del chatbot basato su intelligenza artificiale probabilmente più famoso al mondo. Tra tutti i suoi impieghi, ChatGPT può tornare davvero molto utile anche nello studio delle funzioni. Ad esempio, potresti utilizzarlo per chiedergli “calcola l’insieme immagine della seguente funzione [funzione]”, premere Invio e vedere così il risultato. Ci tengo però a ricordarti che, per quanto sia potente e affascinante, ChatGPT non è infallibile, dunque, non fare affidamento in tutto e per tutto alle soluzioni che ti fornirà. Infine, il chatbot, come forse già sai, è gratuito, ma per avere accesso alla versione più completa e potente, puoi avvalerti dell’abbonamento Plus al costo di 20 dollari al mese. Per ulteriori dettagli su come usare ChatGPT e su come funziona app ChatGPT, non esitare a leggere le mie guide tematiche.
• Google Gemini (Online/Android/iOS/iPadOS) — si tratta di un altro chatbot basato su intelligenza artificiale e, come facilmente deducibile dal nome, questo è di casa Google. Se desideri trovare l’insieme immagine di una funzione con Gemini, tutto ciò che devi fare è aprire una chat con il chatbot e chiedergli, ad esempio, “trova l’insieme immagine di questa funzione [funzione]” e visualizzare poi il risultato. Anche Google Gemini non è infallibile, dunque, non affidarti ciecamente alle soluzioni che ti vengono fornite. Come forse già sai, inoltre, il chatbot è utilizzabile in modo del tutto gratuito, anche se la versione più completa, ovvero Gemini Advanced, ha un costo di 21,99 euro al mese con un mese di utilizzo gratuito. Maggiori dettagli su come funziona Google Gemini li puoi trovare nella mia guida tutta dedicata all’argomento.
• WolframAlpha (Online/Android/iOS/iPadOS) — si tratta di una potente piattaforma che può eseguire una gran vastità di operazioni. Per quanto riguarda lo studio delle funzioni, offre la possibilità di trovare il range della funzione (che, ti ricordo, in caso di funzioni suriettive coincide con l’insieme immagine) semplicemente scrivendo quest’ultima nel campo di ricerca apposito. Il servizio è gratuito, anche se la versione più completa e potente è accessibile sottoscrivendo l’abbonamento che ha un costo che parte da 5,25 euro al mese. Infine, ti segnalo che l’app per dispositivi Apple ha anche un costo di 2,99 euro una tantum.

Se vuoi approfondire l’argomento relativo allo studio delle funzioni, sono felice di informarti che sul mio blog ho scritto anche le guide su come trovare il dominio di una funzione dal grafico e sui programmi per grafici di funzioni.

Salvatore Aranzulla è il blogger e divulgatore informatico più letto in Italia. Noto per aver scoperto delle vulnerabilità nei siti di Google e
Microsoft. Collabora con riviste di informatica e cura la rubrica tecnologica del quotidiano Il Messaggero. È il fondatore di Aranzulla.it, uno dei
trenta siti più visitati d’Italia, nel quale risponde con semplicità a migliaia di dubbi di tipo informatico. Ha pubblicato per Mondadori e
Mondadori Informatica.